Discrete fourier transform and Filtering in spatial domain and frequency domain

這次作業主要是：

1. Discrete fourier transform
2. Gaussian filtering in spatial domain and frequency domain

Discrete fourier transform

DFT是傅立葉變換在時域和頻域上都呈離散的形式，將信號的時域採樣變換為其DTFT的頻域採樣。

根據 DFT 的公式，

我們可以將 2-D 的 DFT 實作出來。而第一項又分為兩種呈現方式：

1. Spectrum
2. Phase angle

Spectrum

第一個部分，是經由上面公式去產生出來的結果。這次的 model 是 lena，下圖就是 lena 傅利葉轉換後的頻譜樣子，為了看的更清楚，額外做了 log ，調整對比。

Spectrum

Phase angle

第二個部分則是透夠相位角來呈現，一樣是用 lena 當 model，下圖是結果，也調整過對比。

Phase angle

Gaussian filtering in spatial domain and frequency domain

高斯過濾，又稱高斯平滑，通常用它來減少影像雜訊以及降低細節層次。先看看原圖：

Original lena

Spatial domain

根據課本的步驟，首先會先產生 Gaussian mask（N*M），然後與圖做 convolution。

Spatial domain

上圖是經過處理的 lena ，明顯的可以看到其平滑的處理。

Frequency domain

頻率域相對比較複雜，首先要先將原圖做 DFT 得到 F(u, v)，接著產生一個對稱的mask H(u, v) ，將其相乘後將全部 pixel 乘上  (-1) ^ (x+y)，最後取其四分之一當作結果，下圖即是：

Frequency domain

從上面的結果看來，高斯確實可以達到平滑的效果。